Přípravná početní cvičení aneb základy pro matematické myšlení žáků/dětí

Přípravným početním cvičením se obvykle věnuje menší pozornost než přípravě předčtenářské. Tato situace vyplývá z mylné představy, že žák přicházející do 1. ročníku umí počítat. Pravdou však je, že žák umí většinou pouze přeříkat číselnou řadu jako básničku. Číslo je pro něj pouze slovo, prázdný pojem, pod kterým si nic nepředstavuje.

Přípravnému období je proto potřeba se věnovat stejnou měrou v češtině i matematice.

Pokud učitel vytvoří u žáků dobré první představy o číslech a jejich přirozeném uspořádání, může snadněji přejít k samotnému počítání. Mnozí žáci pak začnou spontánně počítat sami. Přípravné početní období nám zároveň dobře umožňuje položit základy pro utváření klíčových kompetencí a zdárné plnění požadovaných výstupů.

Aby bylo učení pro žáky přirozené, užívá Tvořivá škola věcí, situací a činností, které jsou žákům dobře známé z domova, z přírody nebo z pohádek či vyprávění. Matematické poznávání založené na činnostních postupech a rozvoji vlastních zkušeností žákům nezevšední. Naopak probouzí jejich zájem a přitahuje jejich mysl k soustředění.

Základní strategie Tvořivé školy využívané v tomto období jsou následující:

1. Snažíme se upoutat myšlenky žáků a za pomoci činností s didaktickými pomůckami postupně předávat učivo vymezené v ŠVP.

2. Prostřednictvím činnostního předávání učiva, které je spojeno s pozorováním, objevováním a žákovskou komunikací, postupně utváříme a rozvíjíme klíčové kompetence žáků.

3. Umožňujeme žákům vyjadřovat vlastní postřehy a názory k daným činnostem.

4. Využíváme možností pozitivní motivace a pozitivního hodnocení žáků.

5. Činnosti předkládáme žákům tak, aby nám dobře rozuměli, tj. stručně a jasně.

6. Žáky vedeme k uvažování a samostatnému objevování poznatků.

7. Zvolené činnostní postupy zařazujeme do výuky krátce a často a opakujeme je podle potřeby tak dlouho, až při nich co nejvíce žáků samostatně uplatňuje svá zjištění a "objevy".

Didaktické cíle

Hlavním cílem Tvořivé školy v předpočtářském období je vytvořit předpoklady pro budoucí "zdravý matematický vývoj" a položit základy pro průběžné utváření klíčových žákovských kompetencí.

Pro žáky je v tomto období nejdůležitější dosahovat těchto konkrétních cílů:

• Vytvořit si s pomocí názorů a činností představu o číslech do 5 (10, 20...).

• Naučit se vidět počty prvků do pěti bez počítání po jedné.

• Naučit se o činnostech hovořit, a postupně si tak vytvářet matematický slovník.

Plnění cílů v prvních dvou bodech realizuje Tvořivá škola především formou individuálních žákovských činností, které umožňují aktivní zapojení všech žáků do výuky a dobré zvládnutí předkládaných úkolů každým z nich. Jejich prostřednictvím vedeme žáky k osvojení si dovednosti manipulace s nástroji - didaktickými a učebními pomůckami, k dodržování vymezených pravidel a plnění povinností a rozvíjíme tak kompetenci pracovní. Žákům umožňujeme první samostatné vnímání problémů, poznávání a objevování možných způsobů řešení i samostatné řešení problémů a pokládáme tím základy kompetence k řešení problémů. Utváříme schopnost samostatně pozorovat, vyvozovat závěry a objevovat poznatky, poznávat smysl učení a posuzovat vlastní pokrok, čímž rozbalujeme kompetenci k učení. Abychom toho dosahovali, je třeba do práce průběžně zapojovat co nejvíce smyslů a naučit žáky přiřazovat stejné počty prvků či více a méně prvků.

Základy pro rozvoj kompetence komunikativní utváříme v rámci realizace cíle uvedeného ve třetím bodě tak, že průběžně necháváme všechny žáky hovořit o tom, co činí. Vedeme je k vymýšlení a formulování prvních jednoduchých slovních úloh, kladení otázek a odpovědí v logickém sledu. Žáci se učí vyjadřovat souvisle a výstižně a zároveň naslouchat spolužákům. Díky názorným pomůckám, které mají před sebou na lavici, žáci dobře rozumí tomu, o čem hovoří, a jsou schopni zdůvodňovat své názory.

Při plnění uvedených cílů prostřednictvím jednotlivých níže specifikovaných činnostních postupů prožívají všichni žáci opakovaně pocit úspěchu a vytváří si o sobě pozitivní představy. Vzájemně se vyvolávají, komunikují, hezky se oslovují, spolupracují, pomáhají si, učí se respektovat názory druhých, uvědomují si svá práva i povinnosti. Tyto činnosti významně přispívají i k postupnému rozbalování kompetence sociální a personální a kompetence občanské.

Realizace (postup a metody)

Základní formou výuky ve Tvořivé školy jsou individuální činnosti všech žáků, tzv. individuálně-kolektivní výuka. Ta je rozvíjena obzvláště prací ve dvojicích a skupinovou prací žáků. Každá činnost má přesně daný didaktický cíl. Činnosti vykonávají všichni žáci zároveň. Pracují přitom s tvořivými učebnicemi, pracovními sešity a didaktickými pomůckami připravenými zvlášť pro činnostní učení. Volba a řazení činností jsou na učiteli, který tak činí s ohledem na dosaženou úroveň poznání žáků.

Obecný činnostní postup je následující:

1. Samostatná činnost všech žáků (individuální pokusy, sestavování, modelování matematických situací, třídění atp.) - každý žák má svou pomůcku. Žákům je názorně vysvětlen postup práce s pomůckou, kterou pro daný cíl zvolili, a způsob, jakým mají o prováděných činnostech hovořit. Žáci manipulují s pomůckou společně s učitelem, prostřednictvím činností a pozorování si vytvářejí představu o jevech, kterým je učíme, a učí se tyto jevy vnímat.

2. Pozorování, hovor žáků o pozorovaném a vyvozování závěrů - žáci sami vytvářejí obdobné příklady a situace. Učitel je vede k uvažování o pozorovaných jevech, ke slovnímu popisu prováděných úkonů, k vyjadřování názorů, závěrů a formulaci otázek. Umožňuje žákům samostatné rozhodování a projev, v případě potřeby výroky žáků usměrňuje nebo převádí do odborného slovníku. Tato etapa vede k postupnému utváření přiměřené slovní zásoby a často i ke znovuobjevení jevu.

3. Procvičování - při činnostech v prvních dvou bodech dochází jak k postupnému rozvíjení klíčových kompetencí, tak k porozumění učivu. Teprve poté má smysl zařadit postupy směřující k procvičování - automatizaci probírané látky. Tento přístup výrazně přispívá k další motivaci pro učení. I formy procvičování volíme pokud možno činnostní (s různými didaktickými pomůckami v rukou všech žáků), které směřují k rozvíjení jednotlivých kompetencí. Při procvičování volíme různé obměny postupů a postupně zavádíme složitější varianty.

Lze říci, že stejný postup platí obecně v každém vyučovacím předmětu vždy při probírání nové látky.

Dosažené úrovně osvojení jednotlivých kompetencí i činnostně osvojených poznatků a dovedností později využíváme v analogických situacích při rozšiřování učiva. Jednotlivé činnosti provádíme vždy krátce a často.

Jak postupujeme v dané látce vpřed, jednotlivé činnosti rozvíjíme a postupně zvyšujeme jejich obtížnost. Tím umožňujeme i další plynulý rozvoj kompetencí. Díky práci s pomůckami jsou žáci při činnostním učení v podstatě neustále myslí přítomni. Učí se naslouchat, uvažovat, vyjadřovat se, komunikovat, vyhledávat a třídit informace, samostatně řešit problémy, zodpovědně se rozhodovat. Manipulací s pomůckami si dobře osvojují i základní pracovní návyky. Vizualizace myšlení žáků prostřednictvím didaktických pomůcek zprostředkovává učiteli stálou kontrolu nad dosaženým stupněm poznání všech žáků, okamžitou zpětnou vazbu.

Hlavní metoda činnostního učení - samostatné objevování

Metoda objevování (metoda pedagogické geneze) je metodou tzv. řízeného znovuobjevování poznatků. Ve Tvořivé škole ji využíváme za pomoci vhodných pomůcek. Navrhneme činnost a předložíme žákům hypotézu. Žáci následně činnosti  provádějí (kolektivně/skupinově/ve dvojicích/individuálně), což je vede k úvahám, které nahlas vyjadřují. Vyučující přitom sleduje a usměrňuje jejich činnost, hodnotí jejich výroky a vede je k cíli.

Dokážeme-li pozitivně motivovat a hodnotit poznávací úsilí žáků a povýšit toto učení na objevování, vedeme žáky ke smysluplnému učení. V tom nám velmi pomáhají různé jednoduché pomůcky a situace, nad kterými je možné přemýšlet. Dobrým výsledkům napomáhají mezipředmětové vztahy s prvoukou, českým jazykem i jednotlivými výchovami.

Jako nevhodné se jeví pouhé vyplňování pracovních sešitů žáky (obzvláště v 1. ročníku) a jejich zcela samočinné objevování poznatků. Rovněž není moudré, aby žák kráčel ve vzdělávání cestami, které si určuje zcela sám podle své nálady. Žáci školního věku nemají potřebný nadhled, nevědí, co je třeba se naučit nejdříve, na co navázat. Neřízené samostudium končí většinou neúspěchem, a to i u nadaných žáků. Je proti zásadě efektivity nechat žáky zbytečně bloudit. Krom toho hrozí, že se skutečně ztratí.

Při činnosti se žáci snadno soustředí na řešení předkládaných problémů. Nenutíme je do okamžité a přesné formulace vlastních závěrů. Přijímáme jejich přirozené vyjadřování a nevnucujme jim své představy. Ke správnému vyjadřování je veďme až poté, co se sami projeví. Vždy je třeba poznávací proces několikrát opakovat v různých situacích a teprve poté vést žáky k přesné formulaci závěru. Je věcí odbornosti učitele, aby výsledek včas upravil a upřesnil. Hodnotu má sama tvůrčí činnost žáků, nikoli pouze její výsledek.

Využité zdroje a pomůcky, způsob jejich využití ve Tvořié škole

1. Pomůcky pro přípravná početní cvičení:

• konkrétní věci, se kterými si žáci hrají (učitel si zvolí obvykle jednu určitou dostupnou věc v počtu do pěti, např. fazole, knoflíky, kaštany)

• pomůcku Početní divadélko je možné nechat pro prvňáčky kompletně vyrobit staršími žáky či rodiči dětí MŠ. Je také možné zakoupit předchystanou sadu ke slepení (při odběru nad 10 ks množstevní sleva). Jsou to barevné obrázky konkrétních věcí (domeček, květiny, stromy, ovoce,..) nalepené na krátkých špejlích v počtu do pěti od jednoho druhu. Ty jsou umístěny do krabičky, v jejímž víčku jsou řady otvorů pro vpichování. Předností je, že nám tato pomůcka umožňuje cvičit vidění počtu věcí do pěti na konkrétních věcech, později přidáváme i prostorovou orientaci, rozlišování barev a vše spojujeme s povídáním (podporujeme rozvoj obrazotvornosti, fantazie, kompetence pracovní, komunikativní, kompetence k učení a kompetence k řešení problémů). Uvědomme si, že žák lépe vnímá, chápe a pamatuje si to, co sám dělá, než to, co je mu předváděno pouze demonstračně.

  ---

  Pozn.: Vidění počtu věcí do pěti cvičte nejprve bez znalosti číslic, ty přidávejte postupně tak, jak je probíráte v učebnici.

  ---

• obrázky věcí (mrkve, jablka, hrušky, švestky, šišky aj.), které můžete vystříhat a zařadit do děje přímo v rámci sady pracovních karet a šablon M 0/1. Obrázky využíváme zvláště při modelováni procesů přidávání a ubírání.

• 

  dvoubarevná kolečka - v matematice se využívají zejména od 0. do 4. ročníku. V přípravném a 1. ročníku kolečka zastupují různé věci ze života dítěte - je to první krok žáků k abstrakci. Tento způsob učení přímo nabádá k pozitivnímu hodnocení žáků. Žáci ztrácí ostych, postupně všichni provádějí činnosti samostatně, správně a nebojí se o činnostech hovořit, což výrazně přispívá k utváření kompetence komunikativní a pozitivní atmosféry v kolektivu.

2. Náměty pro přípravná početní cvičení s různými předměty (procvičování vidění počtu věcí do pěti a později stejnými postupy do deseti):

Na pokyn učitele pokládají žáci na lavici určitý počet předmětů (nejlépe se osvědčily velké fazole a dvoubarevná papírová kolečka ze skládací kostky). Nejprve žáci pokládají jeden až tři předměty, dále jeden až pět. Uvádějí, kolik čeho položili.

Příklady činností:

• učitel určí počet, žáci předměty v určeném počtu položí a uvádějí, kolik předmětů položili a jakého druhu

• žáci položí na lavici několik předmětů, sami říkají, kolik jich položili nebo si ve skupinách dávají hádanky: "Kolik jsem položil... ?"

• cvičíme vidění počtu věcí do pěti s kolečky - žáci položí do řady za sebou 5 koleček a připraví si proužek tvrdého papíru.
  Učitel: "Chtěl bych vidět 4 kolečka." Žáci zprava proužkem jedno kolečko zakryjí.
  Učitel: "Rád bych viděl 2 kolečka." Žáci zprava proužkem zakryjí 3 kolečka...

  ---

  Pozn.: Později je vhodné opakovat několik úkolů za sebou a až následně přidat otázku: "Kolik koleček máš zakryto?" Žák odpoví na základě představivosti. Toto cvičení lze později spojovat i s přikládáním obrázků číslic k určitému počtu koleček.

  ---

  Rychlé postřehování počtu věcí bez počítání po jedné vede k dobré představě čísla, cvičí rozklady čísla, připravuje početní výkony.

• Toto cvičení vidění počtu věcí do pěti je vhodné i pro práci ve dvojicích: Jeden žák zakrývá proužkem kolečka a ptá se: Kolik koleček vidíš? Kolik koleček mám zakryto? Druhý odpovídá. Za správné odpovědi si zapisují např. hvězdičky a střídají se.

• Kolečka zastupují různé předměty, které dítě zná (knihy, květiny, hrníčky, auta atd.). Práce je podobná předchozí, velmi brzy může být spojena s vytvářením matematického slovníku. Žáci sami tvoří slovní úlohy o věcech a otázky k nim. Vzniká tak účinná zpětná vazba mezi učitelem a žákem, kdy žák modeluje své myšlenky na lavici před učitelem. Tento způsob učení dává učiteli i žákům možnost okamžité nápravy při chybě, která se zobrazila.

• Příklad:

• 1. Pepík: "Mám 2 knihy. Od babičky jsem dostal ještě jednu knihu. Kolik mám knih?"
     Jana: "Máš 3 knihy."
     Podle děje úlohy pokládají všichni žáci kolečka na lavici, tvoří otázky, odpovídají.

  2. Jirka: "Ondra umyl nejprve 3 hrníčky, potom umyl ještě 1 hrníček. Kolik hrníčků umyl Ondra?" Tomáš: "Ondra umyl 4 hrníčky."

  Další úlohy tvoří žáci v různých obměnách a se svými náměty. Je to projev tvořivého myšlení, při kterém se utvářejí základy kompetence komunikační a zároveň vytváří matematický slovník. Později, když se žáci seznámí s početními výkony sčítání a odčítání, řeknou nejprve odpověď (na základě modelu), potom ji doplní odpovídajícím matematickým příkladem (úlohu matematizují):
  Tomáš: "Jaký příklad k tomu patří?"
  Pepík: "K této úloze patří příklad 3+1=4."

Mezi přípravná cvičení, která podporují dobrý psychický vývoj dítěte, patří též různá početní říkadla, hádanky, pohádky nebo rozpočítadla. Lze je rytmizovat, vytleskávat, dramatizovat. Mnoho jich najdete v níže uvedených pracovních sešitech.

Žáky chvalte. Především za bezchybnost, ale i za to, když najdou svoji chybu a opraví ji .

3. Početní divadélko - základní didaktická pomůcka pro vstup žáků do matematiky a položení dobrého základu pro rozvoj klíčových kompetencí (popis práce s pomůckou naleznete v článku Početní divadélko.

4. Kreslení určitého počtu věcí (malované slovní úlohy) k danému ději je dalším přípravným cvičením vhodným k zařazení při vytváření představy čísla a později i početních výkonů. Žák, který pracoval s početním divadélkem, snadno přechází ke kreslenému vyjadřování úloh. Dětské nákresy a náčrty jsou při činnostním učení nepostradatelné jak v matematice, tak v prvouce i v českém jazyce. Nejde nám o výtvarnou úroveň náčrtů, ale o vyjádření počtu věcí a uvědomění si smyslu vět a dějů.

Žáci kreslí a vyprávějí, co nakreslili: "V jednom domečku, který má 2 okna, 1 dveře a 1 komín, bydlí Pepík. Nad domem právě letí 2 ptáci."

Vyprávění mohou být různá, dají se všelijak obměňovat. Žáci mohou kreslit podle diktátu, mohou o nakresleném obrázku znovu vyprávět a ukazovat, co nakreslili. Vyprávění je jim blízké a činnost vede k jejich soustředění. Dobře přitom vědí, co dělají. Mějme však na paměti, že samotné kreslení nemůže nahradit věcný názor. Nevynechávejme tedy činnosti s modely.

5. Hry s papírovoou kostkou - kostku děti znají z jednoduchých deskových her. Můžete použít širokou paletu aktivit s jejím využitím. Vhodné je kombinovat ji i s dalšími pomůckami, zejména kolečky. Žák např. před sebe vyskládá 6 koleček s viditelně odděleným 6. kolečkem a následně hází kostkou a tužkou znázorňuje umístěním mezi řadu koleček svůj hod/hod spolužáka.

Pokud žáci chybují, je v 1. ročníku vhodné neupozorňovat na chybu přímo určitého žáka, ale věci, které při činnostech používají (proužky, kolečka, kouzelníčci) - "Ten kouzelníček to ale popletl." "Kolečka, pozor, vidím chybu."

Pojem činnostní učení je třeba chápat v širším slova smyslu. Tedy ne pouze jako aktivity, při kterých se rozvíjí kompetence pracovní, ale jako konstruktivní činnostní postupy učení, při kterých je paralelně rozvíjena žákovská komunikace, logické myšlení žáků, jejich schopnost řešit problémy, spolupracovat a uznávat hodnoty lidské práce. Při dodržování dané metodiky je přínos pro žáky patrný velmi záhy, projevuje se ve všech předmětech i mimoškolní činnosti žáků, a to zejména pro jeho důsledné zaměření na rozvoj komunikace, lásky k učení a logického myšlení žáků.

Při počáteční výuce matematiky je třeba si uvědomit:

Početní výkon již probíhá s abstraktně chápanými čísly (probíhá myšlenkou). Prostřednictvím vhodně volených modelů určíme model čísla, které je výsledkem početního výkonu. Od tohoto konkrétního modelu pak opět přecházíme k abstraktnímu výsledku! (Např.: Od tří koleček dvě odsuneme, zbylo jedno kolečko: 3 - 2 = 1.)

• Nebojte se si s žáky pohrát. Šikovnost rukou se později mění v šikovnost myšlení a zdánlivá ztráta času dnes je v tomto směru velkým přínosem pro zítřek.

• V učení matematice postupujte od konkrétního k abstraktnímu:

  • Představa o číslech prostřednictvím jejich konkrétních modelů. Číslo znázorníme libovolnými předměty nebo obrazci, s věcným názorem necháme samostatně pracovat všechny žáky. Přidáme početní povídání, které doprovázíme činnostmi. Pouhé nákresy nestačí.

  • Představa o umístění čísel v číselné řadě je přechodem od konkrétního k abstraktnímu (hned před, hned za, mezi kterými čísly).

  • Vytváření matematického slovníku je postupné a výukou nenásilně prolíná.

  • Početní výkony - abstraktní tvar.

• Žáky v učení nepřetěžujte. Domácí úkoly mohou být časté, ale krátké a odvozené z učiva ve škole naučeného.

Je dobré, když učivo matematiky vychází ze života žáků a je mezipředmětově propojeno s učivem prvouky přípdně i s učivem dalších předmětů. Žáci by měli v matematice od prvních dnů o všem mluvit (český jazyk), kreslit obrázky ke slovním úlohám (výtvarná výchova), zpívat písničky k obrázkům v učebnicích a pracovních sešitech (hudební výchova), vytvářet sestavy a manipulují s jednotlivými pomůckami (pracovní činnosti), říkat říkanky a doprovázet je pohybem (tělesná výchova). Tím se nabízí mnoho možností k zařazování krátkodobých projektů do výuky, a to nejen v 1. ročníku.

Závěr

Uvedené postupy jsou stručným úvodem do činnostní výuky matematiky tak jak je předkládád Tvořivá škola. Ve školní praxi jsou doplněny o další způsoby výuky a rozpracovány do takového rozsahu, který je nutný pro správné zvládnutí učiva a plynulé utváření klíčových kompetencí každým žákem. Vše navazuje, vše má svůj hlubší význam tak, aby každý žák měl možnost dosahovat požadovaných výstupů. Obdobně, jako je zpracovaný 1. ročník, je zpracováno celé období povinné školní docházky. 

V praxi Tvořivé školy jsme se přesvědčili, že na činnostní výuku je na základních školách - při dané úrovni kompetencí a školním programem vymezeném objemu vědomostí a dovedností - dostatek času. Pokud byly kompetence, dovednosti a znalosti v 1. - 3. ročníku v matematice podávány žákům činnostně a byl kladen důraz na pochopení a procvičení učiva všemi žáky, potom v matematice 4. a 5. ročníku není problém prakticky s žádnou novou látkou a je umožněno plynulé rozbalování kompetencí. Žáci učivo snadno činnostně vyvozují z již osvojených znalostí a dovedností a na jeho základě mohou dosahovat velmi vysokého stupně osvojení všech kompetencí. Pak je možné věnovat se dalšímu rozvoji kompetencí prostřednictvím slovních úloh, uvažování, rozlišování, zápisů atd.

Poznáte sami, že žákům je možné předkládat i "hotová" řešení. Žáci následně sami objevují způsob řešení daného problému. Žákům můžeme předkládat k odhalování i různé způsoby řešení, objevené jejich spolužáky. Takovými metodami se nejlépe rozvíjejí a rozšiřují jejich poznávací schopnosti a žáci získávají bohatý aparát znalostí, postupů a strategií.

Konkrétní postupy, metody, formy, metodické materiály a didaktické pomůcky získáte návštěvou některé ze vzdělávacích akcí DVPP Tvořivé školy, které naleznete v Kalendář akcí.